趣味悠遊自適生活DAY2: 2012-03-01::04<<統計学メモ

2012年3月1日木曜日

t分布(スチューデント分布)

$f(x)=k(1+\frac{x^2}{\alpha})^{-\frac{\alpha+1}{2}}$

t分布に従う確率変数Xの

平均は0、分散は

$\frac{\alpha}{\alpha -2}$

αの値を大きくすると平均は0、分散は

$\lim_{\alpha \to \infty} \frac{\alpha}{\alpha-2}=1$

これだけでは言えませんが、分散、平均は標準正規分布のものに近づいていくことが分かります

またαを大きくしていくとt分布は正規分布に近づくのは事実です(証明略)

例

正規母集団からランダムに抽出した大きさnの標本から算出した標本平均と不偏分散を

$\overline{X}=\frac{X_1+X_2\cdots +X_n}{n}$

$s^2=\frac{(X_1-\overline{X})^2+(X_2-\overline{X})^2+\cdots +(X_n-\overline{X})^2}{n-1}$

この時、標本平均Xに関する次の統計量Tは自由度α=n-1のt分布に従う

$T=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$

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