趣味悠遊自適生活DAY2: 2012-03-08::02<<統計学メモ

2012年6月20日水曜日

2012-03-08::02<<統計学メモ

標本から得られる統計量def推定量

$\hat{T}$

不偏分散と不偏性

$E(T_n)=\theta$

ぶっちゃけこれではなんやかんやでわからない。

簡単に言うと，「（実際にはありえないが）何回も推定を繰り返すと，平均的には推定したい値 $\theta$ に合っている」というのが「不偏性」である。

不偏性
http://case.f7.ems.okayama-u.ac.jp/statedu/lispstat-book/node106.html

これではっきりした。

私がもっとわかりやすく説明すると、母数θの周り(±的な意味で)にまんべんなく推定量がバラけているという状態。

その状態の時Tnは不偏性を持つというらしい(定義)

不偏分散はなぜn-1で割るのか

私的にはWikiの解説のほうがすんなり理解できた

不偏分散 $u^{2}$ の期待値が母分散 $\sigma^{2}$ に等しい事を示す。以下、母平均を $\mu$ とし、 $\Sigma$ は $i=1$ から $i=n$ までの和を表す物とする。また、関係式

$V[X]=E[X^{2}]-E[X]^{2},\,$

$E[x_{i}]=\mu , \, V[x_i]=\sigma^{2}$

は繰り返し用いる。

$\begin{align}E[u^{2}]&=E\left[ \frac{1}{n-1}\sum_{i} (x_{i}-\bar{x})^{2} \right] \\&=\frac{1}{n-1}\sum_{i}\left( E[x_{i}^{2}] -2 E[x_{i}\bar{x}] + E[\bar{x}^{2}] \right) \\ &=\frac{1}{n-1}\sum_{i}\left( \left(V \left[x_{i} \right]+E \left[x_{i}\right]^{2} \right) -2 E[\bar{x}^{2}] + E[\bar{x}^{2}] \right) \\ &=\frac{n}{n-1}\left( (\sigma^{2}+\mu^{2})- E[\bar{x}^{2}] \right) \\&=\frac{n}{n-1}\left( (\sigma^{2}+\mu^{2})-\left(V\left[\frac{1}{n}\sum_{i} x_{i}\right]+\mu^{2} \right )\right) \\&=\frac{n}{n-1}\left( (\sigma^{2}+\mu^{2})-\left(\frac{1}{n^{2}}\sum_{i} V\left[x_{i}\right]+\mu^{2} \right )\right) \\&=\frac{n}{n-1}\left( \sigma^{2}-\frac{1}{n^{2}} \cdot n\sigma^{2} \right) \\&=\sigma^{2}\end{align}$